Jornada de introducción a la Genómica y la Bioinformática
Machine learning y bioinformática: análisis de componentes principales
Profesor: Carlos Pérez-Glez (departamento de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa)
Junio, 2019
PCA aplicado a DNA microarrays
- Un ejemplo de la aplicación de PCA en la genómica es la identificación de características genéticas asociadas a procesos biológicos de enfemedades. En este contexto, los datasets consisten en tablas con los niveles de expresión genética de mRNA en muestras de tejidos (RNAseq dataset).
PCA en microarrays: expresión génica en tejidos tumorales
- Supóngase que queremos clasificar los tumores de un varias muestras de tejidos en 3 subtipos. Se analiza la expresión de un grupo de 9 genes en los diferentes tejidos para caracterizar los subtipos.
Es un ejemplo muy simplificado (en la realidad suele disponerse de varios miles de genes). El método de PCA se puede combinar con técnicas de clustering para crear agrupaciones automáticamente.
En este caso, se muestra como PCA ayuda a la identificación de patrones genéticos.
## gene_1 gene_2 gene_3 gene_4 gene_5
## tumor_a 0.8726627 1.3464477 0.1580743 -0.5027416 -0.75876070
## tumor_b 0.8806472 0.7498311 -0.3363201 -0.5912593 -0.86344136
## tumor_c 1.3893236 1.2426073 -0.1222758 -0.5823842 -1.28813620
## tumor_d -0.8234644 -1.3032958 -0.6156777 -0.3855728 -0.34297901
## tumor_e -1.1174522 -1.1774594 -0.9522566 -0.3298219 0.34540177
## tumor_f -0.9308277 -0.7110086 -1.2965523 -0.4010737 0.05903187
## gene_6 gene_7 gene_8 gene_9
## tumor_a -1.01691819 0.1126525 0.32300317 1.0846077
## tumor_b -1.04780750 -0.2406702 0.70238943 1.1404019
## tumor_c -0.85190531 0.3247319 0.20602104 0.7595605
## tumor_d 0.07098378 1.0210364 0.69743729 0.9916284
## tumor_e -0.52650153 1.1487223 0.00599308 1.2312660
## tumor_f 0.20957245 0.9537663 0.72007731 0.9110078
PCA en microarrays: matriz de var-covar de los datos
- La matriz de varianzas-covarianzas muestral sería
## gene_1 gene_2 gene_3 gene_4 gene_5
## gene_1 1.00117018 1.04167864 0.6793231 0.2326529 -0.04149816
## gene_2 1.04167864 1.16089133 0.6894438 0.2275600 -0.02704006
## gene_3 0.67932307 0.68944378 0.7561245 0.4639694 0.41382428
## gene_4 0.23265295 0.22756001 0.4639694 0.4364229 0.54997137
## gene_5 -0.04149816 -0.02704006 0.4138243 0.5499714 0.86032584
## gene_6 0.10243798 0.07268947 0.5220257 0.6114519 0.83813275
## gene_7 -0.70688718 -0.72463626 -0.7147269 -0.4538187 -0.40278529
## gene_8 -0.11621339 -0.16529264 -0.1819963 -0.1237691 -0.21090807
## gene_9 -0.52214230 -0.50594909 -0.7836571 -0.6686265 -0.76280996
## gene_6 gene_7 gene_8 gene_9
## gene_1 0.10243798 -0.7068872 -0.1162134 -0.5221423
## gene_2 0.07268947 -0.7246363 -0.1652926 -0.5059491
## gene_3 0.52202568 -0.7147269 -0.1819963 -0.7836571
## gene_4 0.61145185 -0.4538187 -0.1237691 -0.6686265
## gene_5 0.83813275 -0.4027853 -0.2109081 -0.7628100
## gene_6 0.98873247 -0.5058350 -0.1472066 -0.9285206
## gene_7 -0.50583504 0.7732758 0.1111573 0.7792427
## gene_8 -0.14720664 0.1111573 0.3233331 0.1753145
## gene_9 -0.92852057 0.7792427 0.1753145 1.0818186
PCA en microarrays: tests estadísticos
- Aplicamos el test de Barttlet y KMO
## $chisq
## [1] 219.9707
##
## $p.value
## [1] 2.868623e-28
##
## $df
## [1] 36
## Error in solve.default(r) :
## sistema es computacionalmente singular: número de condición recíproco = 3.88383e-18
## Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
## Call: KMO(r = cor(datos_trans))
## Overall MSA = 0.5
## MSA for each item =
## gene_1 gene_2 gene_3 gene_4 gene_5 gene_6 gene_7 gene_8 gene_9
## 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
- Representamos la dispersión de las variables
PCA en microarrays: métodos de PCA en R
En R podemos obtener PCA con varios comandos
- prcomp() y princomp() [incluido en paquete R stats (base)],
- PCA() [paquete FactoMineR],
- dudi.pca() [paquete ade4],
- epPCA() [paquete ExPosition]
Por ejemplo, con prcomp obtenemos PCA pasando como primer argumento el data.frame datos_trans. Veamos cómo obtener las varianzas de las CP (autovalores de S) y la matriz de loadings (cada columna es un autovector de S).
## [1] 4.749891e+00 2.094519e+00 3.258526e-01 8.693594e-02 7.534952e-02
## [6] 2.933207e-02 1.588891e-02 4.325098e-03 2.390192e-35
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5
## gene_1 -0.32440776 -0.48357572 -0.05264719 0.23092826 0.06430301
## gene_2 -0.33570449 -0.52883524 0.15730951 -0.05116911 -0.59181524
## gene_3 -0.38149923 -0.09411618 0.02869418 -0.05355245 0.70302009
## gene_4 -0.27457943 0.18802273 -0.03011017 -0.09547975 0.03966169
## gene_5 -0.28190849 0.45435076 0.24059899 -0.54247146 -0.25039845
## gene_6 -0.34351016 0.43110479 -0.13119860 0.52639475 -0.24716748
## gene_7 0.38298299 0.11865112 0.19385118 0.49236650 -0.08297692
## gene_8 0.09693233 -0.02348610 -0.91146826 -0.18724291 -0.13684989
## gene_9 0.45561288 -0.18804724 0.16522229 -0.28847569 -0.02013285
## PC6 PC7 PC8 PC9
## gene_1 0.27789378 0.36325350 0.54470996 -0.30788418
## gene_2 -0.39129871 -0.17786437 -0.18452644 0.10595059
## gene_3 -0.49807487 -0.27810776 -0.01271261 -0.14861997
## gene_4 -0.17869443 0.31243801 0.36286401 0.78513568
## gene_5 -0.13119036 0.19638979 0.19902822 -0.45148462
## gene_6 0.06604420 -0.51825032 0.25577626 -0.04885115
## gene_7 -0.62023896 0.34394225 0.14524390 -0.16813475
## gene_8 -0.28126099 0.04108705 0.08611121 -0.13145080
## gene_9 -0.06536996 -0.48405885 0.63550334 0.06068341
PCA en microarrays: cálculo de las CPs
- Por tanto, para obtener la 1ra CP \(Y_1=(Y_{11},..,Y_{n1})^t\) habría que hacer (recordar que \(Y_1=\mathbf{X}\mathbf{\gamma_1}\))
## [,1]
## tumor_a 0.5183955
## tumor_b 0.8960083
## tumor_c 0.5288076
## tumor_d 2.0720868
## tumor_e 2.3405535
## tumor_f 1.9508547
## tumor_g -2.6457410
## tumor_h -2.6769372
## tumor_i -2.9840281
A las coordenadas \(Y_{1i}\), \(i=1,..,n\), de cada una de las observaciones en la 1ra PC se les llama puntuaciones factoriales (factor scores) de la componente, o simplemente coordenadas de los individuos u observaciones.
En general, las coordenadas de los individuos de todas las componentes principales serían:
## PC1 PC2 PC3 PC4 PC5
## tumor_a 0.5183955 -1.8589659 0.22540007 -0.22147023 -0.008519502
## tumor_b 0.8960083 -1.6396306 -0.30660024 -0.37474097 0.004122781
## tumor_c 0.5288076 -2.1228344 0.12123349 0.51989858 -0.017368423
## tumor_d 2.0720868 1.2317525 -0.35111394 0.30376631 0.413507629
## tumor_e 2.3405535 1.3910448 0.61141038 -0.32259457 0.140234794
## tumor_f 1.9508547 1.2806624 -0.23981513 0.12737809 -0.554014877
## tumor_g -2.6457410 0.6969827 -0.08106831 -0.03391124 -0.251158694
## tumor_h -2.6769372 0.4544845 -0.96078343 -0.10403275 0.183604752
## tumor_i -2.9840281 0.5665040 0.98133711 0.10570679 0.089591539
## PC6 PC7 PC8 PC9
## tumor_a -0.31553450 -0.13015582 -0.031060726 3.330669e-16
## tumor_b 0.30268638 -0.04879218 0.045618874 1.457168e-16
## tumor_c 0.02550008 0.16507342 -0.004797654 1.353084e-16
## tumor_d -0.03093510 -0.13251737 0.052445766 -2.498002e-16
## tumor_e -0.03434690 0.19367901 -0.010923987 3.469447e-17
## tumor_f 0.04640348 -0.06840532 -0.055894212 -4.857226e-17
## tumor_g -0.12184480 0.05163088 0.129225192 -1.665335e-16
## tumor_h -0.02396421 0.07870617 -0.085485097 -2.359224e-16
## tumor_i 0.15203557 -0.10921880 -0.039128157 -1.387779e-17
PCA en microarrays: proporción de varianza explicada por las CPs
Observar que, partiendo de 9 variables originales, se obtienen también 9 CPs.
Si el objetivo de PCA es reducir la dimensionalidad, ¿cuántas CPs son necesarias para explicar suficientemente bien los datos?.
Como hemos visto, la varianza total que explican las CPs es \(\sum_{i=1}^p \lambda_i\), con lo cual \[\textrm{Proporción de varianza de }Y_j=R_j^2=\frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^p \lambda_i}\]
Por tanto, la proporción de varianza que explican las primeras \(k\) CPs es: \[\textrm{Proporción de varianza de }\{Y_1,..,Y_k\}=\sum_{i=1}^k R_j^2=\frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i}{\sum_{i=1}^p \lambda_i}\]
PCA en microarrays: proporción de varianza explicada por las CPs
- Veamos como representar gráficamente la varianza (scree plot)
## [1] "0.64343" "0.28373" "0.044141" "0.011777" "0.010207"
## [6] "0.0039734" "0.0021524" "0.00058589" "3.2378e-36"
PCA en microarrays: proporción de varianza acumulada explicada por las CPs
- Si se empleasen únicamente las dos primeras componentes se conseguiría explicar el 85% de la varianza observada.
PCA en microarrays: proporción de varianza acumulada explicada por las CPs
Si \(\sum_{i=1}^k R_j^2 \simeq 1\) para \(k<p\), entonces no se pierde mucha información transformando las variables oriiginales en pocas CPs.
OBSERVACIÓN: Si las variables \(X_i\) están muy correlacionadas, la dimensionalidad efectiva es mucho menor que \(p\). En este caso los primeros autovalores son grandes y la proporción de varianza será próxima a 1 para valores de \(k\) pequeños.
Si las correlaciones entre las variables originales son pequeñas, la dimensionalidad efectiva será próxima a \(p\) y los autovalores serán parecidos. En este caso las componentes principales esencialmente duplicarán las variables originales y no se conseguirá reducir la dimensionalidad.
PCA en microarrays: representación de las coordenadas de las observaciones en las CPS
Recordemos que los datos originales tienen 9 variables (genes 1-9) y 9 observaciones (tumor a-i).
Si quisiéramos hacer una representación gráfica de los tumores tendríamos que hacerlo en \(\mathbb{R}^9\) o bien proyectar sobre dos ejes coordenados cada par de variables
plot_vars<-function(cols) {
ggplot(data = datos_trans,
aes_string(x = colnames(datos_trans)[cols[1]], y = colnames(datos_trans)[cols[2]])) +
geom_point() +
geom_text(aes(label=rownames(datos_trans)), vjust=-0.5) +
scale_x_continuous(limits=c(-2,2))+
scale_y_continuous(limits=c(-2,2))+
theme_bw() +
labs(x = colnames(datos_trans)[cols[1]],
y = colnames(datos_trans)[cols[2]],
title=paste0("Plot ",colnames(datos_trans)[cols[1]]," vs ",colnames(datos_trans)[cols[2]])
)
}
PCA en microarrays: representación de las coordenadas de las observaciones en las CPS
PCA en microarrays: representación de las coordenadas de las observaciones en las CPS
- Sin embargo, como hemos visto que el 97% de la varianza queda explicada por las 2 primeras PCs, podemos representar la proyección de las observaciones sobre dichas componentes.
ggplot(data = data.frame(res.pca$x[,c(1,2)]),
aes(x = PC1, y = PC2, group = 1)) +
geom_point() +
geom_text(aes(label=rownames(datos_trans)), vjust=-0.5) +
scale_x_continuous(limits=c(-3.5,3.5))+
scale_y_continuous(limits=c(-3,3))+
theme_bw() +
labs(x = "1ra componente principal",
y = "2nda componente principal",
title="Plot PC1 vs PC2")
PCA en microarrays: representación de las coordenadas de las observaciones en las CPS
- Recordemos que el primer y segundo autovector eran
## gene_1 gene_2 gene_3 gene_4 gene_5 gene_6
## -0.32440776 -0.33570449 -0.38149923 -0.27457943 -0.28190849 -0.34351016
## gene_7 gene_8 gene_9
## 0.38298299 0.09693233 0.45561288
## gene_1 gene_2 gene_3 gene_4 gene_5 gene_6
## -0.48357572 -0.52883524 -0.09411618 0.18802273 0.45435076 0.43110479
## gene_7 gene_8 gene_9
## 0.11865112 -0.02348610 -0.18804724
Por tanto, la 1ra CP separa los tumores con valores altos en gene_1 hasta gene_6 de los tumores con valores altos en gene_7 hasta gene_9.
De forma similar, la 2nda CP separa los tumores con valores altos en gene_4 hasta gene_7 de los que tienen valores altos en el resto de genes.
ggplot(data = data.frame(res.pca$x[,c(1,2)]),
aes(x = PC1, y = PC2, group = 1)) +
geom_point() +
geom_text(aes(label=rownames(datos_trans)), vjust=-0.5) +
scale_x_continuous(limits=c(-3.5,3.5))+
scale_y_continuous(limits=c(-3,3))+
theme_bw() +
labs(x = "1ra componente principal",
y = "2nda componente principal",
title="Plot PC1 vs PC2")
PCA en microarrays: interpretación de las componentes principales
¿Qué significa esta representación de las observaciones (tumores) con respecto a las 2 primeras CPs? O lo que es lo mismo, ¿qué significado tiene una CP? ¿cómo se interpreta?
¿Es buena la representación de las CPs? ¿Explica bien a las variables originales? O lo que es lo mismo, ¿todas las variables (genes) tienen la misma importancia en la CP? ? ¿Están las variables bien explicadas?
- Aunque hemos calculado las CPs utilizando
prcomp() existen otros paquetes en R que nos pueden ayudar mucho en la obtención de las CPs y su interpretación.
Otros comandos relacionados: prcomp() vs. princomp()
- Un método altenativo a
prcomp es princomp, que también se utiliza en R para obtener las CPs:
Otros comandos relacionados: prcomp() vs. princomp()
- En la ayuda de
prcomp podemos ver que
The calculation is done by a singular value decomposition of the (centered and possibly scaled) data matrix, not by using eigen on the covariance matrix. This is generally the preferred method for numerical accuracy.
mientras que en princomp se dice
The calculation is done using eigen on the correlation or covariance matrix, as determined by cor. This is done for compatibility with the S-PLUS result. A preferred method of calculation is to use svd on x, as is done in prcomp.
La descomposición de valor singular (singular value decomposition, SVD) de la matriz \(X\) consiste en hallar la siguiente descomposición \[\mathbf{X}_{n\times p} = \mathbf{U}_{n\times n}\mathbf{D}_{n\times p}\mathbf{V}_{p\times p}^t\] donde \(\mathbf{U}_{n\times n}\) es una matriz ortonormal formada por los autovectores de \(\mathbf{X}\mathbf{X}^t\), y \(\mathbf{V}_{p\times p}\) es una matriz ortonormal formada por los autovectores de \(\mathbf{X}^t\mathbf{X}\). La matriz \(\mathbf{D}_{n\times p}\) estaría formada por la raiz cuadrada de los autoevectores de \(\mathbf{X}\mathbf{X}^t\) y \(\mathbf{X}^t\mathbf{X}\).
Los algoritmos de SVD tienen una complejidad algorítimica de \(O(np^2)\). Si \(n,p\) grandes, lo razonable es acudir a algoritmos de computación distribuida por razones de velocidad y eficiencia.
Mejorando el análisis de PCA: el paquete FactoMineR y el método PCA()
- Para mayor claridad, vamos a utilizar el método
PCA() que proporciona algunos indicadores que facilitan la interpretación.
- Los argumentos son
- X: conjunto de datos (calcula PCA utilizando los autovalores/autovectores de la matriz de var-covar)
- scale.unit: Si TRUE, se escalan los datos para que tengan varianza unitaria. Esto se puede hacer también en
prcomp con el comando scale(datos_trans). La opción de estandarizar sería conveniente si queremos evitar que algunas variables lleguen a ser dominantes en la PCA debido a órdenes grandes de magnitud por sus unidades de medidas.
- ncp: El número de PCs.
- graph: Si TRUE, se muestra un gráfico de resultados.
Mejorando el análisis de PCA: el paquete FactoMineR y el método PCA()
- Veamos cómo obtener autovalores, loadings y scores
## eigenvalue percentage of variance
## comp 1 5.684355812 63.15950902
## comp 2 2.175108748 24.16787497
## comp 3 0.897354696 9.97060773
## comp 4 0.098520356 1.09467062
## comp 5 0.084511221 0.93901357
## comp 6 0.037312857 0.41458730
## comp 7 0.018166298 0.20184776
## comp 8 0.004670012 0.05188903
## cumulative percentage of variance
## comp 1 63.15951
## comp 2 87.32738
## comp 3 97.29799
## comp 4 98.39266
## comp 5 99.33168
## comp 6 99.74626
## comp 7 99.94811
## comp 8 100.00000
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## gene_1 0.6466620 0.75514735 0.02530764 0.070968527 0.01518013
## gene_2 0.6210476 0.75652951 -0.06831293 -0.027695398 0.16560581
## gene_3 0.9440757 0.23545792 0.01108830 0.007017624 -0.21451984
## gene_4 0.9343393 -0.33723391 0.08328456 -0.024031097 -0.01447496
## gene_5 0.7228027 -0.66021466 -0.07557126 -0.173456869 0.06507582
## gene_6 0.7934604 -0.56153744 0.11699316 0.172343407 0.07721584
## gene_7 -0.9261780 -0.27616575 -0.16156359 0.145210419 0.01221888
## gene_8 -0.4147898 0.05816376 0.90689957 -0.027475582 0.01195192
## gene_9 -0.9666105 0.18027465 -0.13046167 -0.102271890 -0.01174382
## Dim.6 Dim.7 Dim.8
## gene_1 -0.03333382 -0.0590339361 0.032819955
## gene_2 0.08715362 0.0369032081 -0.012102062
## gene_3 0.07195041 0.0436788595 -0.002248936
## gene_4 0.04800057 -0.0518184466 0.023891398
## gene_5 0.03802209 -0.0126292082 0.005875990
## gene_6 -0.02761028 0.0679341196 0.019158673
## gene_7 0.13232499 -0.0324355594 0.005158757
## gene_8 0.03459674 0.0008030624 0.002046340
## gene_9 0.01449830 0.0538442196 0.049377769
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## tumor_a -0.8077113 1.9343199 -0.2877048 -0.24634795 -0.07071988
## tumor_b -1.2807803 1.7543961 0.4831515 -0.42479725 0.02056229
## tumor_c -0.9232763 2.2439025 -0.4177970 0.56527325 0.08476949
## tumor_d -2.2531967 -1.3619120 0.4580948 0.39285885 -0.47020407
## tumor_e -2.3409193 -1.7035043 -0.9923015 -0.38499467 -0.16690789
## tumor_f -2.2247307 -1.5032677 0.4482729 0.11169530 0.61391373
## tumor_g 3.1202644 -0.6386387 0.3225145 -0.04507721 0.26280481
## tumor_h 2.9965035 -0.2323599 1.7372830 -0.04930481 -0.22510520
## tumor_i 3.7138469 -0.4929359 -1.7515133 0.08069450 -0.04911329
## Dim.6 Dim.7 Dim.8
## tumor_a 0.345270482 0.19016035 -0.03147672
## tumor_b -0.360896615 0.00896776 0.05735906
## tumor_c 0.012446380 -0.18920811 -0.01322819
## tumor_d -0.029902956 0.12824184 0.06512958
## tumor_e 0.087974038 -0.21091932 -0.02308535
## tumor_f -0.047562386 0.09652468 -0.05744554
## tumor_g 0.191667353 -0.06068302 0.13596701
## tumor_h -0.002619894 -0.07330765 -0.09931086
## tumor_i -0.196376401 0.11022348 -0.03390899
Análisis del porcentaje de varianza explicada
- Ya lo habíamos visto antes, pero el gráfico de varianza explicada es
PCA en microarrays: análisis de las variables en PCA
Análisis de la correlación entre las CP y las variables originales (loadings)
El segundo análisis consiste en estudiar la relación que tiene cada componente principal con las variables originales
La correlación de la PC \(Y_j\) con la variable \(X_i\), con \(i,j=1,..,p\) se define como \[Corr(X_i,Y_j)=\gamma_{ij}*\sqrt{\lambda_j}/\sigma_{i}\] y se conoce como loadings.
El concepto de loadings en PCA
- Recordemos que el concepto de loadings puede hacer referencia también a los autovectores \(\gamma_{j}=(\gamma_{ij})_{i=1,..,p}\). Observar que los autovectores y las correlaciones de lass PCs con las variables sólo difieren en el tipo de normalización:
- La suma de las componentes al cuadrado de los autovectores, \(\gamma_{ij}^2\), para la PC \(j\)-ésima, es igual a 1 \(\displaystyle{\left( \sum_{i=1}^p \gamma_{ij}^2 =1 \right)}\).
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## gene_1 0.2712294 0.51202506 0.02671589 0.22610117
## gene_2 0.2604859 0.51296223 -0.07211421 -0.08823576
## gene_3 0.3959735 0.15965143 0.01170531 0.02235770
## gene_4 0.3918898 -0.22866029 0.08791894 -0.07656153
## gene_5 0.3031651 -0.44765627 -0.07977643 -0.55262244
## gene_6 0.3328010 -0.38074853 0.12350326 0.54907502
## gene_7 -0.3884667 -0.18725323 -0.17055381 0.46263107
## gene_8 -0.1739753 0.03943774 0.95736408 -0.08753544
## gene_9 -0.4054253 0.12223461 -0.13772122 -0.32583167
- La suma de las correlaciones al cuadrado, \(Corr(X_i,Y_j)^2\), para la variable \(X_i\), es igual a 1 \(\displaystyle{\left( \sum_{j=1}^p Corr(X_i,Y_j)^2=1 \right)}\).
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## gene_1 0.6466620 0.75514735 0.02530764 0.070968527
## gene_2 0.6210476 0.75652951 -0.06831293 -0.027695398
## gene_3 0.9440757 0.23545792 0.01108830 0.007017624
## gene_4 0.9343393 -0.33723391 0.08328456 -0.024031097
## gene_5 0.7228027 -0.66021466 -0.07557126 -0.173456869
## gene_6 0.7934604 -0.56153744 0.11699316 0.172343407
## gene_7 -0.9261780 -0.27616575 -0.16156359 0.145210419
## gene_8 -0.4147898 0.05816376 0.90689957 -0.027475582
## gene_9 -0.9666105 0.18027465 -0.13046167 -0.102271890
Gráfico de correlación de variables y componentes principales
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## gene_1 0.6466620 0.75514735 0.02530764 0.070968527
## gene_2 0.6210476 0.75652951 -0.06831293 -0.027695398
## gene_3 0.9440757 0.23545792 0.01108830 0.007017624
## gene_4 0.9343393 -0.33723391 0.08328456 -0.024031097
## gene_5 0.7228027 -0.66021466 -0.07557126 -0.173456869
## gene_6 0.7934604 -0.56153744 0.11699316 0.172343407
## gene_7 -0.9261780 -0.27616575 -0.16156359 0.145210419
## gene_8 -0.4147898 0.05816376 0.90689957 -0.027475582
## gene_9 -0.9666105 0.18027465 -0.13046167 -0.102271890
se aprecia que la 1ra CP tiene mucha correlación con todas las variables (medida global de la expresión de todos los genes) mientras que la 2nda CP tiene mayor correlación en los genes 5-6 (signo -) y los genes 1-2 (signo +), con lo cual, esa 2nda CP es una medida que compara la expresión de ambos cojuntos de genes en los tumores.
- El siguiente gráfico se denomina gráfico de correlación de variables
- Nos muestra que
- Las variables correladas de forma positiva se agrupan de forma conjunta.
- Las variables correladas negativamente se posicionan en el lado opuesto del gráfico.
- La distancia de las variables al origen mide la calidad de las variables. De esta forma, las variables que se alejan del origen se representan bien en el gráfico.
Interpretación de las componentes principales
- Veamos a continuación cómo interpretar las componentes principales
Calidad de la representación en componentes principales
- Las correlaciones al cuadrado, \(Corr(X_i,Y_j)^2\), permiten analizar el porcentaje de varianza de las variables que son explicadas por las componentes principales
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## gene_1 0.4181717 0.570247520 0.0006404767 5.036532e-03
## gene_2 0.3857001 0.572336896 0.0046666560 7.670351e-04
## gene_3 0.8912788 0.055440432 0.0001229504 4.924704e-05
## gene_4 0.8729900 0.113726708 0.0069363185 5.774936e-04
## gene_5 0.5224437 0.435883397 0.0057110156 3.008729e-02
## gene_6 0.6295793 0.315324302 0.0136874003 2.970225e-02
## gene_7 0.8578057 0.076267519 0.0261027929 2.108607e-02
## gene_8 0.1720506 0.003383023 0.8224668380 7.549076e-04
## gene_9 0.9343358 0.032498949 0.0170202474 1.045954e-02
Observa que gene_3, gene_4, gene_7 y gene_9 quedan mejor “representadas” por la CP1.
Por otro lado, la varianza de gene_1 es explicada en un 51% por la CP1 mientras el 46.5% lo explica bien la CP2. Si sumamos las correlaciones al cuadrado de las 2 primeras PCs, vemos que la varianza de gene_1queda explicada en un 97.5% (51%+46.5%). Es decir, que esa variable está bien “representada” en ambas componentes. A esta medida de cómo de bien explican un conjunto dado de PCs a cada variable se le llama comunalidad. \[h_{i(k)}^2= \sum_{j=1}^k Corr(X_i,Y_j)^2\]
Calidad de la representación en componentes principales
- Podemos visualizar las correlaciones al cuadrado mediante los siguiente gráficos
- si lo representamos en gráfico de barras
Calidad de la representación en componentes principales
- En el gráfico de correlación de variables podemos mostrar también la calidad de la representación
- Nos muestra que
- Las variables con un alto cos2 en CP1 y CP2 se posicionan cerca de la circunferencia de correlación (bien representada en ambas CPs).
- Las variables con un bajo cos2 en CP1 y CP2 se sitúan cerca del centro de la circunferencia de correlación (mal representadas en ambas CPs).
Contribución de variables a las componentes principales
- Otro análisis de interés en PCA es el porcentaje de contribución de las variables a la varianza de cada componente principal.
## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## gene_1 7.356537 26.2169660 0.07137386 5.11217380
## gene_2 6.785291 26.3130244 0.52004586 0.77855491
## gene_3 15.679505 2.5488579 0.01370143 0.04998667
## gene_4 15.357764 5.2285528 0.77297400 0.58616680
## gene_5 9.190905 20.0396140 0.63642789 30.53915610
## gene_6 11.075650 14.4969442 1.52530547 30.14833805
## gene_7 15.090641 3.5063773 2.90886012 21.40275044
## gene_8 3.026739 0.1555335 91.65459789 0.76624533
## gene_9 16.436969 1.4941299 1.89671347 10.61662790
Contribución de variables a las componentes principales
- Como hicimos antes, podemos representar gráficamente las contribuciones de las variables a las CPs
Contribución de variables a las componentes principales
- En el gráfico de barras se puede optar por mostar las variables con las contribuciones más altas (argumento top)
# Contributions of variables to PC1
chart01<-fviz_contrib(res.pca3, choice = "var", axes = 1, top = 10) +ggtitle("Contrib. a CP 1")
# Contributions of variables to PC2
chart02<-fviz_contrib(res.pca3, choice = "var", axes = 2, top = 10) +ggtitle("Contrib. a CP 2")
# Contributions of variables to PC1 and PC2
chart03<-fviz_contrib(res.pca3, choice = "var", axes = 1:2, top = 10) +ggtitle("Contrib. a CP 1-2")
require(gridExtra)
grid.arrange(chart01,
chart02,
chart03,
ncol=3)
La contribución de una variable para explicar la variabilidad de 2 CPs se calcula como \(\textrm{contrib}=(c_1*\lambda_1+c_2*\lambda_2)/(\lambda_1+\lambda_2)\).
La línea roja muestra la contribución promedio esperada. Si la contribución fuese uniforme, este valor esperado sería igual a (1/num. variables)x100%. Por tanto, para una componente dada, las variables que superan este corte tienen una contribución importante en la componente.
Contribución de variables a las componentes principales
- En el gráfico de correlación de variables también es posible ilustrar la contribución de las variables
- Nos muestra que
- Las variables correladas con CP1 y CP2 son las que más contribuyen a explicar la variabilidad en el conjunto de datos.
- Las variables que no están correladas con CP1 y CP2 (o lo están con otras CPs) son las de menor contribución.
